НР МОБУ «Пойковская средняя общеобразовательная школа №2»
Открытый урок по алгебре в 7 классе
по теме:
«Умножение одночлена на многочлен»
Учителя математики
Лимарь Т. А.
г. п. Пойковский, 2014
Методическая информация
Тип урока
Урок «открытия» нового знания
Цели урока (образовательные, развивающие, воспитательные)
Деятельностная цель урока : формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.
Образовательная цель : расширение понятийной базы по теме «Многочлены» за счет включения в нее новых элементов: умножение одночленов на многочлен.
Задачи урока
образовательные:
Выработать алгоритм умножения одночлена на многочлен, рассмотреть примеры его применения.
развивающие:
Развитие внимания, памяти, умения рассуждать и аргументировать свои действия через решение проблемной задачи;
Развитие познавательного интереса к предмету;
Формирование эмоционально-положительного настроя у учащихся путем применения активных форм ведения урока и применением ИКТ;
Развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений.
воспитательные:
Развитие коммуникативных умений обучающихся через организацию групповой, парной и фронтальной работы на уроке.
Используемые методы
Словесные методы (беседа, чтение),
Наглядные (демонстрация презентации),
Проблемно-поисковый,
Метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод),
Формирование личностных УУД.
Дидактическое обеспечение урока:
Компьютерная презентация,
Карточки с заданиями,
Карточки оценки работы на уроке,
Карточки с практическими заданиями по новой теме.
Этапы урок
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Организационный этап. (1мин)
Цели: актуализация знаний учащихся, определение целей урока, деление класса на группы (разно уровневые), выбор руководителя группы.
Психологический настрой, приветствие учащихся.
Приветствует учеников, называет эпиграф урока. Предлагает занять места по заранее распределенным группам и дает предварительный инструктаж.
Здравствуйте, присаживайтесь. Ребята, еще за тысячи лет до нашего рождения Аристотель говорил, что «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». И после каждого урока в мире математики неопределенности становится меньше. Я надеюсь, что и сегодня мы с вами откроем для себя что-то новое.
В ходе урока вы будете заполнять оценочный лист, который лежит у вас на столах, после выполнения каждого задания.
Учащиеся рассаживается по заранее разделенным группам. Знакомится с оценочным листом.
Устный счет.
Цель: проверить усвоение теоретического материала по теме: «Умножение одночлена на одночлен. Возведение в степень» и умения применять его на практике, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы.
а) математический диктант.
Привести подобные одночлены.
а) 2х+4у+6х=
б) -4а+в-3а=
в) 3c+2d+5d=
г) -2d +4a-3a =
2. Умножить одночлен на одночлен
а) -2ху 3х
б) (-4ав) (-2в)
г) (-5ав) (2z )
д) 2z (x +y )
Учитель предлагает выполнить математический диктант, записанный на доске. Контролирует правильность выполнение, подводит к изучению нового материала.
Совместно с учащимися формулирует цель и тему урока
- какой из номеров диктанта вызвал у вас наибольшие затруднения?
Давайте попробуем выяснить где именно возникло затруднение и почему?
- Цель нашего урока: научиться выполнять умножение одночлена на многочлен (справедливость вашего решения).
Тема урока: « У множение одночлена на многочлен».
Учащиеся выполняют задания. Совместно с учителем формулирует цель и тему урока. Записывают тему урока тетрадях.
(предполагаемый ответ учащихся д)
Выработать (сформулировать) правило умножения одночлена на многочлен.
Подведение к новой теме
Цель: подготовить учащихся к изучению нового материала.
Работа в группах.
Группа №1.
Вычислить.
15 80+15 20= 1200+300=1500
15 (80+20)=15 100=1500
Группа №2
Вычислить.
20 40+20 100=800+2000=2800
20 (40+100)=20 140=2800
Группа №3.
Вычислить .
6 (2а+3а)=6 5а=30а
6 2а+6 3а=12а+18а=30
Группа № 4
Вычислить
7 (4х+2х)= 7 6х=42
7 4х+7 2х=28х+14х=42х
Учитель проводит инструктаж. Контролирует выполнение.
Каждой группе необходимо найти значение двух выражений. Сравнить их и записать вывод в виде равенства или неравенства.
Учащиеся решают примеры в группах, делают вывод.
1 член от каждой группы пишет вывод на доске.
На доске написано:
15 80+15 20=15 (80+20)
20 40+20 100=20 (40+100)
6 (2а+3а)=6 2а+6 3
7 (4х+2х)=7 4х+7 2х
Учащиеся выставляют себе оценку в оценочный лист. Если вывод сформулирован и записан правильно, то ставят 5.
«Открытие» учащимися нового материала.
Цель:
формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.
Выполнение задания «Заполните пропуски»
Слайд 2.
2z ∙(x +y )=2z ∙ +2z ∙
3х(а+в)= а+ в
Через минуту на доске высвечивается правильное решение.
Учитель дает инструктаж.
Проводит опрос. Делает вывод.
Пользуясь равенствами, записанными на доске, заполните пропуски в следующих выражениях
Обратите внимание, что стоит перед скобкой?
Что стоит в скобках?
Что получается в ответе?
И так, давайте сделаем вывод как умножить одночлен на многочлен. Через три минуты представляют свой материал классу (используется белый лист и фломастеры).
Обобщает
Проверим, правильно ли вы сформулировали правило. Для этого откроем учебник на стр.
Ученики работают в группах, каждая группа обсуждает, как заполнить пропуски.
Проверяют правильность заполнения пропусков.
Каждая группа выдвигает свою гипотезу и представляет классу, проходит общее обсуждение и делается вывод.
Читают вслух правило из учебника.
Одночлен
Многочлен
Новый многочлен
Первичное закрепление.
Цель: отработка навыков умножения одночлена на многочлен, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы, повышение мотивации учебной деятельности.
Работа в группах.
Группа №1, 3
х∙(
m ∙(n +3)=__________________ ; 7a ∙(2b -3c ) = _______________ ;
Группа №2, 4
a∙(c-y) = __________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;
m∙(y+5)=__________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;
7
Учитель дает инструктаж.
На парте возьмите карточку №2 Обязательное условие - при решении проговаривать друг другу правило.
Выполните взаимопроверку, группа 1 меняется карточками с группой 3, а группа 2 – с группой 4. Выставьте оценки группам в оценочный лист:
5 правильно выполненных задания – оценка «5»; 4 - «4»; 3- «3»; меньше 3- «2».
Выполняют задание на карточках, проводят взаимопроверку.
Ответственный член группы №1 спрашивает любого члена группы №3. Выставляет оценку в оценочный лист.
ответственный член группы №2 спрашивает любого члена группы №4. Выставляет оценку в оценочный лист
6. Математическая зарядка.
Цель: повысить или удержать умственную работоспособность детей на уроках;
обеспечить кратковременный активный отдых для учеников в течение урока.
Учитель проводит инструктаж, показывает карточки, на которых записаны одночлены, многочлены и выражения которые не являются ни одночленами, ни многочленами.
Учащиеся выполняют упражнения по командам
«Одночлен» - руки подняли вверх; «Многочлен» - руки перед собой «Другое выражение» - руки в стороны;
Закрыли глаза, про себя досчитали до 30, открыли глаза.
Математическое лото
Цель: закрепить алгоритм умножения одночлена на многочлен и побудить интерес к математике
Группа№1,3
с(3а-4в)=3ас-12вс;
3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;
4) -n(x-m)=-nx+nm;
5) 3z (x-y )= 3zx-3zy .
Карточки с ответами:
3ас-12вс; 3ас+12вс; 3ас-4в
zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;
3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;
Nx+nm; nx+nm; nx-nm;
3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.
Группа №2, 4
Умножьте одночлен на многочлен
5a(b+3d)=5ab+15ad
А(3в+с)=-3ав-ас;
4x (5c -s )=20cx -4xs ;
a(3c+2b)=3ac +2ba
Карточки с ответами:
3ав-ас; 3ав+ас; в-ас;
20cx -4xs ; 20cx +4xs ; 5c -4xs ;
3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;
cp-5cm; ср-5m; p-5cm.
5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad
Раздает конверты. Рассказывает правила игры. В одном конверте лежат 5 примеров на умножения одночлен на многочлен и 15 карточек с ответами.
Поясняю, как оценивать выполненную работу.
Группа получает оценку «5»,если первой выполнила все задания верно, 4 задания – «4»; 3 задания – «3», меньше трех –«2», та группа, которая завершает игру в лото второй, при этом выполнив все задания, верно получает оценку «4», третья – «3», последняя – «2».
Получают конверты с заданиями.
Выполняют умножение одночлена на одночлен.
Выбирают правильные ответы из всех предложенных карточек.
Самопроверка.
Получают карточку для самопроверки. Выставляют оценку в оценочный лист.
8 . Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока).
Цель: самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода построения границ и применения нового способа действия.
Фронтальная беседа по вопросы на слайде:
Какой алгоритм умножения одночлена на многочлен существует в математике?
Какой результат вашей деятельности?
Учитель проводит анализ оценочных листов (их результаты видны на слайде)
Возвращается к девизу урока, проводит параллель между эпиграфом и выведенном на уроке алгоритмом.
Сдайте оценочные листы, на которых четко видно результат вашей деятельности.
Еще раз вернемся к девизу нашего урока: «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». Алгоритм который мы вывели сегодня на уроке, поможет в дальнейшем сделать нам новые открытия: умножение многочлена на многочлен, поможет узнать формулы сокращенного умножения, о которых много говорят в алгебре. В переде нас ждет много интересного и важного.
Спасибо за урок!!!
Учащиеся делают самоанализ своей работы, вспоминают алгоритм, изученный на уроке, отвечают на вопросы.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
КАРТОЧКА №1.
Группа №1.
Вычислить.
15 80+15 20= ______________________________
15 (80+20)= _______________________________
КАРТОЧКА №1.
Группа №2
Вычислить.
20 40+20 100 =_________________________________
20 (40+100)= __________________________________
КАРТОЧКА №1.
Группа №3.
Вычислить .
6 (2а+3а)=_____________________________________
6 2а+6 3а=_____________________________________
КАРТОЧКА №1
Группа № 4
Вычислить
7 (4х+2х)= _____________________________________
7 4х+7 2х= _____________________________________
КАРТОЧКА №2.
Группа №3
х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
КАРТОЧКА №4.
Группа №2
7x ∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.КАРТОЧКА №2.
Группа №1
х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;
m∙(n+3)=__________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
КАРТОЧКА №2.
Группа №2
a ∙(c -y ) = __________________ ; c ∙(c +d )=___________________ ;
m ∙(y +5)=__________________ ; 6m ∙(2n -3k ) = ______________ ;
7x ∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.Математическое лото ( по два экземпляра)
с(3а-4в)
z(x+2y)
3c(x-3y)
-n(x-m)
3z (x-y )
-а(3в+с)
4x (5c -s )
a(3c+2b)
c(p-5m)
5a(b+3d)
Ответы к лото (по два экземпляра)
3ас-12вс
3ас+12вс
3ас-4в
zx+2zy;
zx-2zy
zx+2y
3сх-9су
3cx-3cy
3сх+3су
Nx+nm
nx+nm
nx-nm
zx-zy
3zx-y
3zx-3zy
3ав-ас
3ав+ас;
в-ас
20cx -4xs
20cx +4xs
5c -4xs
3ac+2ba
3ac+6ba
3ac-2ba
cp-5cm
ср-5m
p-5cm.
5ab+ad
5ab+5b
I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Пример 1. Умножить одночлен на многочлен: 2a·(4a 2 -0,5ab+5a 3).
Решение. Одночлен 2а будем умножать на каждый одночлен многочлена:
2a·(4a 2 -0,5ab+5a 3)= 2a∙4a 2 +2a∙(-0,5ab)+2a∙5a 3 =8a 3 -a 2 b+10a 4 . Запишем полученный многочлен в стандартном виде:
10a 4 +8a 3 -a 2 b.
Пример 2. Умножить многочлен на одночлен: (3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3).
Решение. Каждое слагаемое, стоящее в скобках, умножаем на одночлен (-0,4x 3) .
(3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3)=
3xyz 5 ∙(-0,4x 3) -4,5x 2 y∙(-0,4x 3)+6xy 3 ∙(-0,4x 3)+2,5y 2 z∙(-0,4x 3)=
=-1,2x 4 yz 5 +1,8x 5 y-2,4x 4 y 3 -x 3 y 2 z.
II. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.
III.
Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.
Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a 3 +25ab-30a 2 .
Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен 5а , потому что на 5а делится каждый из членов данного многочлена. Итак, 5а мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на 5а .
5a 3 +25ab-30a 2 =5a·(a 2 +5b-6a). Проверяем себя: если мы умножим 5а на многочлен в скобках a 2 +5b-6a, то получим данный многочлен 5a 3 +25ab-30a 2 .
Пример 4. Вынесите общий множитель за скобки: (x+2y) 2 -4·(x+2y).
Решение. (x+2y) 2 -4·(x+2y)=(x+2y)(x+2y-4).
Общим множителем здесь являлся двучлен (х+2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x+2y) 2 и -4·(x+2y) на их общий делитель
(х+2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x+2y) и (x+2y-4) , другими словами, мы разложили многочлен (x+2y) 2 -4·(x+2y) на множители. Ответ: (x+2y)(x+2y-4).
IV. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.
Пример 5. Выполнить умножение многочленов: (4x 2 -6xy+9y 2)(2x+3y).
Решение. По правилу мы должны каждый член первого многочлена (4x 2 -6xy+9y 2) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y). Чтобы не запутаться, делайте всегда так: сначала умножьте каждый член первого многочлена на 2х, потом опять каждый член первого многочлена умножайте на 3у.
(4x 2 -6xy+9y 2)(2x +3y )=4x 2 ∙2x -6xy∙2x +9y 2 ∙2x +4x 2 ∙3y -6xy∙3y +9y 2 ∙3y =
8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .
Подобные слагаемые -12x 2 y и 12x 2 y, а также 18xy 2 и -18xy 2 оказались противоположными, их суммы равны нулю.
Ответ: 8x 3 +27y 3 .
Страница 1 из 1 1
Если числа обозначены различными буквами, то можно лишь обозначить из произведение; пусть, напр., надо число a умножить на число b, – мы можем это обозначить или a ∙ b или ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение. Однако, когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми буквами, является возможность говорить о выполнении умножения одночленов; еще шире такая возможность при многочленах. Разберем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная с простейшего.
1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями . Пусть, напр., требуется a 3 ∙ a 5 . Напишем, зная смысл возведения в степень, то же самое подробнее:
a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a
Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас написано a множителем 8 раз, или, короче, a 8 . Итак, a 3 ∙ a 5 = a 8 .
Пусть требуется b 42 ∙ b 28 . Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b 70 . Итак, b 42 ∙ b 28 = b 70 . Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются. Если имеем a 8 ∙ a, то придется иметь в виду, что у множителя a подразумевается показатель степени 1 («a в первой степени»), – следовательно, a 8 ∙ a = a 9 .
Примеры: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 и т. д.
Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели которых обозначены буквами, напр., xn (x в степени n). С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:
Поясним некоторые из этих примеров: b n – 3 ∙ b 5 надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т. е. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Конечно, подобные сложения должно научиться выполнять быстро в уме.
Еще пример: x n + 2 ∙ x n – 2 , – основание x надо оставить без перемены, а показатель сложить, т. е. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.
Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равенством:
a m ∙ a n = a m + n
2. Умножение одночлена на одночлен. Пусть, напр., требуется 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь обозначено точкою одно умножение, но мы знаем, что этот же знак умножения подразумевается между 3 и a², между a² и b³, между b³ и c, между 4 и a, между a и b², между b² и d². Поэтому мы можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем перемножить их любыми группами в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями оказались рядом, т. е.
3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².
Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получим 12a³b5cd².
Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменения.
Еще примеры:
3. Умножение многочлена на одночлен. Пусть надо сначала какой-нибудь многочлен, напр., a – b – c + d умножить на положительное целое число, напр., +3. Так как положительные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это все равно, что (a – b – c + d) ∙ 3, т. е. a – b – c + d взять 3 раза слагаемым, или
(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,
т. е. в результате пришлось каждый член многочлена умножить на 3 (или на +3).
Отсюда вытекает:
(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,
т. е. пришлось каждый член многочлена разделить на (+3). Также, обобщая, получим:
и т. п.
Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на положительную дробь, напр., на +. Это все равно, что умножить на арифметическую дробь , что значит взять части от (a – b – c + d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко: надо (a – b – c + d) разделить на 5, а это уже умеем делать, – получим 
. Остается повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т. е.
В результате мы видим, что пришлось каждый член многочлена умножить на или на +.
Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на отрицательное число, целое или дробное,
т. е. и в этом случае пришлось каждый член многочлена умножить на –.
Таким образом, какое бы ни было число m, всегда (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.
Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен – надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен.
4. Умножение многочлена на многочлен . Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e означают числа, то и (d + e) выражает какое-либо одно число.
(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)
(мы можем объяснить это и так: мы вправе d + e временно принять за одночлен).
Ad + ae + bd + be + cd + ce
В этом результате можно изменить порядок членов.
(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,
т. е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных членов) умножить каждый член первого многочлена сперва на первый член второго (на +d), затем на второй член второго (на +e), затем, если бы он был, на третий и т. д.; после этого следует сделать приведение подобных членов.
В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом двучлене члены расположены по нисходящим степеням буквы, общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выполнять в уме и сразу писать окончательный результат.
От умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т. е. 4x² на 3x, получим 12x³ старший член произведения – ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1 степенью буквы x, т. е. с x². Легко видим, что такие члены получатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выполнить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих двух подобных членов (после чего получим член –19x²) – дело нетрудное. Затем замечаем, что следующий член, содержащий букву x в степени еще на 1 меньшей, т. е. x в 1-ой степени, получится только от умножения второго члена на второй, и ему подобных не будет.
Еще пример: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.
Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:
Старший член получается от умножения старшего члена на старший, ему подобных членов не будет, и он = 2a³. Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a² – от умножения 1-го члена (a²) на 2-ой (–5) и от умножения второго члена (–3a) на 1-ый (2a) – это указано внизу скобками; выполнив эти умножения и соединив полученные члены в один, получим –11a². Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a в первой степени – эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив их и соединив полученные члены в один, получим +11a. Наконец, замечаем, что младший член произведения (+10), вовсе не содержащий a, получается от перемножения младшего члена (–2) одного многочлена на младший член (–5) другого.
Еще пример: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2 .
Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения получается всегда от перемножения старших членов множителей, и подобных ему членов быть не может; также младший член произведения получается от перемножения младших членов множителей, и подобных ему членов также быть не может.
Остальным членам, получаемым при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться, что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь старший и младший.
Вот примеры:
(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (пишем только результат)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 и т. п.
Эти результаты достойны внимания и их полезно запомнить.
Особенно важен следующий случай умножения:
(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
или (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
или (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 и т. п.
Во всех этих примерах, применяясь к арифметике, мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а в результате получается разность квадратов этих чисел.
Если мы увидим подобный случай, то уже нет нужды выполнять умножение подробно, как это делалось выше, а можно сразу написать результат.
Напр., (3a + 1) ∙ (3a – 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число есть 3a и второе 1, а второй множитель есть разность тех же чисел; потому в результате должно получиться: квадрат первого числа (т. е. 3a ∙ 3a = 9a²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т. е.
(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.
Также 
(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 и т. п.
Итак, запомним
(a + b) (a – b) = a² – b²
т. е. произведение суммы из двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
>>Математика: Умножение многочлена на одночлен
Умножение многочлена на одночлен
Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 4 строилась по тому же плану, что и глава 3. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 3 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 4 - многочлен , стандартный вид многочлена. Затем в главе 3 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично, в главе 4 - сложение и вычитание многочленов.
Что было в главе 3 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придется действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это все равно), а потом (в следующем параграфе) - умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.
(a + b)с =ас + bс.
Пример 1. Выполнить умножение 2а 2 - Заb) (-5а).
Решение. Введем новые переменные:
х = 2а 2 , у= Заb, z = - 5а.
Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хr + уz. Теперь вернемся к старым переменным:
хz + уz - 2а 2 (- 5а) + (- Заb) (- 5а).
Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим:
- 10a 3 + 15a 2 b
Приведем краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):
(2а 2 - Заb) (- 5а) = 2а 2 (- 5а) + (- Заb) (- 5а) = -10а 3 +15а 2 b.
Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.
Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:
- 5а(2а 2 - Заb) = (- 5а) 2а 2 + (- 5а) (- Заb) = 10а 3 + 15а 2 b
(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).
Пример 2. Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если:
a) p1(x, y) - 2х 2 у + 4а:;
б) р 2 (х, у) = х 2 + Зу 2 .
Р е ш е н и е.
а) Заметим, что 2х 2 у = 2х ху, а 4а: = 2х 2. Значит,
2x 2 y + 4х = xу 2х + 2 2x = (ху + 2) 2x
б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена много члена p 1 (х, у) = 2х 2 у + 4а: выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен р 2 (х, у) = х 2 + Зу 2 нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена.
На самом деле и многочлен р 2 (х, у) можно представить в виде произведения, например, так:
x 2 + 3y 2 = (2x 2 + 6y 2) 0,5
или так:
x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- произведение числа на многочлен, но это искусственное преобразование и без большой необходимости не используется.
Кстати, требование представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена встречается в математике довольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общего множителя за скобки.
Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26). В следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.
В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, как на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.
Пример 3. Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?
Решение.
Первый этап.
Составление математической модели. Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда (x + 6) км/ч - скорость велосипедиста.
Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4 (x + 6) км; иными словами, АС = 4 (х + 6).
Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6x км; иными словами, ВС = 6x
А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это - основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4 (x + 6), ВС = 6x:; следовательно,
4 (х + 6) -6x = 16.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиУрок алгебры в 7 -м классе
ЦЕЛИ УРОКА
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ: сформулировать определение умножения одночлена на многочлен; развивать умения и навыки работы с одночленами и многочленами.
РАЗВИВАЮЩИЕ: развивать навыки познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ: воспитывать познавательную активность, ответственность; активизировать мыслительную деятельность в процессе выполнения самостоятельной работы.
ОБОРУДОВАНИЕ
Мультимедийный проектор, карточки с дифференцированными заданиями, карточки «Математическое лото», карточки с самостоятельной работой, «Оценочный лист».
ТИП УРОКА
Комбинированный.
СТРУКТУРА УРОКА
Мотивационная беседа.
Проверка домашнего задания. Индивидуальная работа по карточкам.
Актуализация опорных знаний - устная работа в игровой форме, с помощью которой ведется повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
Изучение нового материала - в ходе беседы, учащиеся формулируют правило умножения одночлена на многочлен.
Закрепление изученного материала.
Физпауза.
Самостоятельная работа с самопроверкой.
Рефлексия.
Домашнее задание.
Итог урока.
ХОД УРОКА
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ Слайд 1,2.
Учитель: Здравствуйте, ребята! Сегодня девизом к нашему уроку будут слова величайшего древнего китайского философа Конфуция: «Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький.» Мы с вами пойдем благородным путем. Продолжим учиться размышлять, находить рациональные пути решения и высказывать свои идеи. Желаю вам удачи!
Сегодня на уроке вы оцениваете свою деятельность в «Оценочных листах».
Оценочный лист ученика ______________________________
| Этапы урока | Отметка за работу |
||||
| Домашнее задание | |||||
| Индивидуальная работа по карточке | |||||
| Устная работа «Математическое лото» | |||||
| Изучение нового материала | |||||
| Закрепление. Работа по учебнику | |||||
| Работа в группе №630 | |||||
| Самостоятельная работа | |||||
| Рефлексия |
|||||
| Как ты оцениваешь свое участие в работе? | |||||
| Как ты оцениваешь свои знания по теме? | |||||
| Какие темы тебе надо повторить, чтобы быть успешным? |
|||||
| Умножение степеней с одинаковыми основаниями. | |||||
| Приведение подобных членов многочлена. | |||||
| Умножение одночленов. | |||||
| Раскрытие скобок со знаками «+» и «-» | |||||
1. ПОВТОРЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ «ОДНОЧЛЕНЫ. МНОГОЧЛЕНЫ»
Проверка домашнего задания. (три ученика, на заранее подготовленной доске, воспроизводят решения домашних номеров. После проверки выполнения, учащиеся класса задают дополнительный вопрос, выставляется отметка.)
Индивидуальная работа по карточкам. (Приложение 1)
№ 601. Слайд 3.
2. Устная работа. « Математическое лото».
Учитель: Ребята, вы умеете играть в лото? Работу выполняете в паре. На парте лежит таблица «Математическое лото». Вычеркните правильные ответы. Готовы?
1). Математическое лото.
Вычеркни правильные ответы.
| 10ab + 10b2 - 20b |
Учитель показывает карточки, ученики вычеркивают верные ответы.
2). Упростите выражения.
а 5 ∙ а 4 2 6 ∙ 2 9 5а ∙ 3а -2у ∙ 6х 4 ab ∙ a 2
5 x +(8- x ) 12а - (2 - 6 a ) 2 (a - b ) - a 2 (4 a - 1) 10 b (a + b - 2)
Учитель: Ребята, проверьте, правильно ли справились с этим заданием? Слайд 4.
Какие выражения остались? (Ученики: «одночлены и многочлены»)
Какие действия можно выполнять с многочленами и одночленами? (Ученики: «складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень»).
Прочитайте выражения: 5х + (8 - х); 12 - (2 - 6а) (учитель прикрепляет на доске магнитом)
Какие выражения при упрощении вызвали затруднения? Почему? (Ученики: «2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), не умеем упрощать выражения такого вида»)
Прочитайте эти выражения. (2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), прикреплены на доске магнитом)
Как называются выражения, стоящие перед скобками? (Ученики: «одночлены»)
Как называются выражения в скобках? (Ученики: «многочлены»)
Как вы думаете, чему вы сегодня научитесь на уроке? (Ученики: «умножать одночлен на многочлен»)
Сформулируйте тему урока и запишите ее в тетрадь. (Ученики: «Умножение одночлена на многочлен») Слайд 5.
Как упростить эти выражения? Кто смог умножить одночлен на многочлен? На какие знания вы опирались? (выслушиваю ответы учеников).
Сегодня вы научитесь выполнять еще одно преобразование алгебраических выражений, находить произведение одночлена на многочлен.
3. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА Слайд 6,7.
Учитель: Запишите в тетрадь выражение 7m6(m3 - m2 - 2)=
Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен? (Ученики: «распределительное свойство, умножение степеней с одинаковыми основаниями, умножение положительных и отрицательных чисел»)
Запишите следующее выражение -3а2 (4а3 - а + 1)=
Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен?
Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен. (Ученики: «Чтобы умножить одночлен на многочлен надо, одночлен умножить на каждый член многочлена»)
Молодцы! Прочитайте в учебнике определение по нашей теме.
4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА (работа с учебником)
Слайд 8.
№ 614 (а,б,в) - ученики на доске с объяснением;
№618 (г) - учитель вместе с учениками;
А) 1-й ряд (1 ученик на доске),
Б) 2-й ряд (1 ученик на доске),
В) 3-ряд (1 ученик на доске);
№ 630 (работа в группе)
Учитель: К вашим партам приклеены кружки, разные по цвету (6 разных цветов по 4 кружка). На них к №630 написаны буквы. Посмотрите, найдите задание в учебнике. Одинаковые буквы на кружках- это члены вашей группы. Выполните задание.
(после окончания работы каждая группа комментирует ответы, проверяем, разбираем ошибки)
Молодцы, успешно справились с данной работой. Не забудьте про «Оценочный лист».
5. ФИЗПАУЗА Слайд 9.
Быстро встали, улыбнулись,
Выше-выше подтянулись.
Ну-ка плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали, сели, встали,
И на месте побежали.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (в двух вариантах, для проверки усвоения нового материала)
Учитель: На ваших партах лежат задания для самостоятельной работы. Выполните предложенное задание.
Вариант 1.
А) _____ (х-у) = 4bx - 4by.
Б) _____ (5a + b) = 10
В) _____(x - 2) = x
Г) ______(c - m + b) = -ayc + aym - ayb.
Вариант 2.
Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстанови его:
А) _____(х-у) = 9ax - 9ay.
Б) _____(2a + b) = 2
В) ______(x - ) = x
Г) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.
Учитель: Проверьте правильность выполнения задания. Слайд 10.
8. РЕФЛЕКСИЯ Слайд 11.
Как вы оцениваете свое участие в работе на уроке?
Как вы оцениваете свои знания по новой теме?
Какие темы необходимо повторить, чтобы в дальнейшим быть успешным?
9. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Слайд 12.
10. ИТОГ УРОКА.
Ребята, вы сегодня очень хорошо работали на уроке, были активны, помогали друг другу. Сдайте ваши оценочные листы. Карточки с самостоятельной работой. На следующем уроке вы их получите с оценкой учителя.
Всем спасибо! До свидания! Слайд 13.
Приложение 1.
Карточка №1
1. Приведите подобные члены многочлена.
А) 5х + 6у - 3х - 12у = _________________________________________.
Б) 3ab + 7b + 12b - ab = _________________________________________.
B) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = ________________________________________.
2. Представьте выражение в виде степени.
А) b13 ∙b ∙ b7 = __________________.
Б) (x3)2 ∙ x4 = ___________________ .
Карточка №2
1. Раскройте скобки, используя правило.
А) 6а + (х + 3а - 1)= ______________________________________.
Б) 5у - (2х - а + b)= _____________________________________.
2. Упростите выражение:
а) (х3)2 ∙ х4 =____________________________________.
Б) (а3 ∙ а5)4 = ________________________________________
В) (с6)8: (с7)5 = _______________________________________
Карточка №3
Упростите выражение:
(8c2 + 3c) + (-7c2 - 11c + 3) - (-3c2 - 4) = ____________________________________________________________.
2.Вычислите:
А) 43 ∙ 53 = _______________;
Б) = ___________________.
Карточка №4.
1. Составьте сумму многочленов и приведите к стандартному виду:
А) 12у2 + 8у - 11 и 3у2 - 6у + 3;
Составьте разность многочленов и приведите к стандартному виду:
Б) а2 - 5ab - b2 и a2 + b2.
Упростите:
х15: х5 ∙ х7 = __________________.
Литература
- Алгебра: учебник для 7 класса / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под редакцией С. А. Теляковского - М.: Просвещение, 2014
- Дидактические материалы по алгебре для 7 класса / Л. П. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. - М.: Просвещение, 1012
- Поурочные разработки по алгебре. 7 класс/ А. Н. Рурукин, Г. В. Лупенко, И. А. Масленникова. - М.: ВАКО, 2007
- Открытые уроки алгебры. 7-8 классы / Н. Л. Барсукова. - М.: ВАКО, 2013